Küp Açılımı Nasıl Yapılır? Tüm Formüller

Küp Ne Demek?

Küp açılımı, isimli yapının tüm yüzleri kare olarak, dikdörtgen prizmasına küp denmektedir. Belirli bir küpün tüm yüzleri karelerden oluşmakta ve tüm ayrıt uzunlukları da eşit olarak bilinmektedir. Matematik dersinde genel olarak küp açılımı soruları ve küp açılımı problemleri karşımıza çıkabilmektedir.

Küp Açılımı Ne Demek?

Küp açılımı; (x³ + y³) ifadesiyle yazılan bir matematiksek formüldür. Küp açılımı iki ifadenin toplamı / farkının küpü veya iki ifadenin küpünün toplamı/farkı şeklinde gösterilir. Bu formülleri bilmek, matematik sorularını hızlıca çözmenizi sağlar. Soruları ızlı bir şekilde çözünce sınav vaktinde de size zaman kazandırmış olacak.

Küpün Formülleri Nelerdir?

İki Küp Farkı

İki küp farkını bulmak için daha önceden tespit edilmiş ve aktif olarak kullanılmakta iki küp farkı formülü kullanılmaktadır. İki küp farkını bulabilmek için;

“x³ – y³ = (x – y).(x² + xy + y²)”

formülünü kullanabilirsiniz. Bilinmeyen ve bilinen rakamları ve sayıları, formül üzerinde yerine yerleştirdikten sonra, başarılı bir şekilde iki küp farkını bulmak mümkün olabilmektedir.

İki Küp Toplamı

İki küp toplamını bulmak için daha önceden tespit edilmiş ve aktif olarak kullanılmakta iki küp toplamı formülü kullanılmaktadır. İki küp toplamını bulabilmek için

“x³ + y³ = (x + y).(x² – xy + y²)”

formülünü kullanabilirsiniz. Bilinmeyen ve bilinen rakamları ve sayıları, formül üzerinde yerine yerleştirdikten sonra, başarılı bir şekilde iki küp farkını bulmak mümkün olabilmektedir.

Küp Açılımı Soruları?

KÜP AÇILIMI SORU #1:  x³ – 27 ifadesini çarpanlarına ayırın ve sonucu bulun.

Cevap

27, 3ün küpü olduğundan ifadeyi şöyle yazabiliriz: x³ – 3³

x³ – 3³ = (x-3).(x² + 3x + 9) olarak çarpanlarına ayırmak mümkün olabilmektedir.

KÜP AÇILIMI SORU #2: x³ + 125 ifadesini çarpanlarına ayırın ve sonucu bulun.

Cevap

125, 5’in küpü olduğundan formülü şöyle yazabiliriz: x³ + 5³

x³ + 5³ = (x+5).(x² – 5x + 25) şeklinde çarpanlarına ayırmış oluruz.

SORU #3: İki reel sayının toplamı 7 ve çarpımları 10 ise küplerinin toplamı nedir?

Cevap

Bir önceki soru bünyesinde yapılmış olduğu gibi, küpünü çıkan değerlere göre açmak gerekmektedir. Mevcut ifadeler iki değer arasındaki farkın küpü olduğu için, kullanılması gereken formül;

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

şeklinde karşımıza çıkabilmektedir. Bu formülü öğrenme işlemi sonrasında, sayıları ve rakamları yerlerine yazarak istenmekte olan sonuca erişmek mümkün olabilmektedir.

Küp Açılımı Örnekleri

Örnek Soru #1: Ayşe x³ + 8 ifadesini çarpanlarına ayırmak istiyor. Buna göre Ayşe’nin bulması gereken cevap nasıldır?

A Şıkkı:  (x + 2).(x² – 2x + 4)

B Şıkkı: (x – 2).(x² – 3x + 4)

C Şıkkı: (x – 2).(x² + 4x + 2)

D Şıkkı: (x + 2).(x² – 2x – 4)

E Şıkkı: (x – 2).(2x² – 4x + 2)

Çözüm: Bu soruda küp açılımını uygulayabilmek için 8’i de 2’nin küpü olarak yazmak gerekmektedir. Durum böyle olunca da x³ + 2³ durumu elde edilmiş olacaktır. Sonrasında yukarıda yer alan küp toplamı kullanıldığında (x + 2).(x² – 2x + 4) elde edilmekte ve cevap da A şıkkı olarak tespit edilmektedir.

Örnek Soru #2:Aşağıdaki bazı ifadeler verilmiştir. Bu ifadelerden hangisi x³ – 8y³ ifadesinin çarpanlarına ayrılmış halidir?

A Şıkkı: (x + 4y)(x² + 2xy + 2y²)

B Şıkkı: (x + 2y)(x² + 4xy + 4y²)

C Şıkkı: (x – 4y)(x² +4xy + 8y²)

D Şıkkı: (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²)

E Şıkkı: (x – 2y)(x² + 2xy + 2y²)

Çözüm: Yukarıda yer alan tüm tercihler birbirine benzemektedir. Bu bölümde küp farkı şeklinde ifade edilmesi gerekmektedir. 8y³ (2y)³ şeklinde yazmak mümkün olabilmektedir. Böyle yazıldığında formülümüz x³ – (2y)³  olabilmektedir. Formülü uyguladığımızda ise (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²) durumu karşımıza gelmektedir. Böylece cevap da D seçeneği olarak karşımıza çıkmaktadır.

Örnek Soru #3: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 27 eşitliği verilmiştir. Buna göre a + b kaç bulunur?

A Şıkkı: 2

B Şıkkı: 3

C Şıkkı: 6

D Şıkkı: 8

E Şıkkı: 9

Çözüm: Yukarıdaki alanda yer alan ifade tam olarak (a + b)³ şeklinde karşımıza çıkmaktadır. Yani parantez küp alma işleminin sonucu olarak bilinmektedir. Durum böyle olunca da a + b’nin bulunması adına küp kök almak gerekmektedir. 27 sayısının da küp kökü 3 olduğuna göre cevabımız da B seçeneği olarak tespit edilmektedir.

Örnek Soru #4: 2x – y = 4 eşitliği verilmiştir. Buna göre 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³ ifadesinin değeri ne olur?

A Şıkkı: 2

B Şıkkı: 4

C Şıkkı: 16

D Şıkkı: 48

E Şıkkı: 64

Çözüm: Soruyu dikkatli bir şekilde incelediğimizde ifadeler arasında yer alan ilişkiyi görmek mümkün olabilmektedir. (2x – y) formülünün küpünü alırsak 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³ formülü karşımıza gelmektedir. Durum böyle olunca da 4’ün küpünü almak gerekmektedir. 4’ün küpü 64 olduğuna göre cevabımız E seçeneği olarak karşımıza çıkmaktadır.